Разбираем 5 вопрос из ЕГЭ по информатике: Анализ и построение алгоритмов для исполнителей. Посимвольное двоичное преобразование

1. Преобразуем N в двоичный вид

2. Дважды дописываем справа контрольный бит:

   • Первый раз: остаток от деления суммы битов на 2

   • Второй раз: повторяем операцию для нового числа

3. Полученная двоичная строка (на 2 бита длиннее исходной) представляет число R

Задание:
Найдите наименьшее число R > 43, которое может быть получено таким алгоритмом. Ответ представьте в десятичной системе.

Пример работы алгоритма:
Для N = 28 (11100):

1. Сумма битов: 1+1+1+0+0 = 3 → остаток 1 → 111001

2. Сумма новых битов: 1+1+1+0+0+1 = 4 → остаток 0 → 1110010

3. R = 114 (в десятичной системе)

Требуется:
Найти минимальное R > 43, удовлетворяющее условиям алгоритма.

1. Переводим N в двоичную систему

2. Добавляем два контрольных бита:

   • Первый бит: чётность суммы битов исходного числа (0 если сумма чётная, 1 если нечётная)

   • Второй бит: чётность суммы битов полученного числа (после добавления первого контрольного бита)

3. Итоговая двоичная запись (длина N + 2 бита) представляет число R

Задание:
Найдите минимальное число N, для которого полученное значение R будет строго больше 77. Ответ дайте в десятичной системе.

Пример работы:
Для N = 25 (11001):

1. Сумма битов: 1+1+0+0+1 = 3 (нечётно) → добавляем 1 → 110011

2. Новая сумма: 1+1+0+0+1+1 = 4 (чётно) → добавляем 0 → 1100110

3. R = 102 (что > 77)

Требуется:
Определить наименьшее N, при котором R > 77.

1. Преобразует N в двоичную запись

2. Вычисляет сумму битов этой записи:

   • Если сумма нечётная → дописывает "11"

   • Если сумма чётная → дописывает "00"

3. Полученная двоичная строка (длиной на 2 бита больше исходной) представляет число R

Требование:
Найти наименьшее число R > 114, которое может быть получено данным алгоритмом. Ответ представить в десятичной системе.

Примечание:
Необходимо учитывать, что:

1. Добавляются всегда ровно 2 бита ("11" или "00")

2. Итоговое число R всегда будет больше исходного N

3. Требуется найти минимальное R, удовлетворяющее условию R > 114

1. Переводит N в двоичную систему счисления

2. Добавляет справа бит чётности (остаток от деления суммы битов на 2)

3. Повторяет шаг 2 для нового числа (добавляет ещё один бит чётности)

4. Полученное двоичное число переводит в десятичную систему

Требование:
Найти наименьшее число (результат работы алгоритма), которое:

• Превышает 97

• Может быть получено описанным алгоритмом

Пример работы:
Для N = 13 (1101):

1. Сумма битов: 1+1+0+1 = 3 → остаток 1 → 11011

2. Сумма битов: 1+1+0+1+1 = 4 → остаток 0 → 110110

3. Результат: 110110₂ = 54₁₀

Примечание:

• Алгоритм всегда добавляет 2 бита (каждый - бит чётности)

• Итоговое число всегда будет чётным (так как заканчивается на 0)

1. Преобразует N в двоичную запись

2. Анализирует чётность N:

   • Если N чётное → дописывает "00"

   • Если N нечётное → дописывает "11"

3. Полученная двоичная строка (на 2 бита длиннее исходной) представляет число R

Требование:
Найти минимальное число N, для которого результат R будет строго больше 115. Ответ дать в десятичной системе.

Примечание:

• Для чётных N: R = N×4 (так как добавление "00" эквивалентно умножению на 4)

• Для нечётных N: R = N×4 + 3 (так как добавление "11" добавляет 3 к N×4)

• Требуется найти наименьшее N, удовлетворяющее условию R > 115

1. Преобразует N в двоичную запись

2. Добавляет два бита справа:

   • Если N чётное → добавляет "10"

   • Если N нечётное → добавляет "01"

3. Полученная двоичная строка (на 2 бита длиннее исходной) представляет число R

Требование:
Найти максимальное число R, которое:

1. Не превышает 102 (R ≤ 102)

2. Может быть получено данным алгоритмом
   Ответ представить в десятичной системе.

Особенности преобразования:

1. Для чётных N: R = 2N + 2 (добавление "10" эквивалентно 2N + 2)

2. Для нечётных N: R = 2N + 1 (добавление "01" эквивалентно 2N + 1)

3. Искомое R должно быть ≤ 102

Примечание:
Требуется найти наибольшее возможное R в пределах заданного ограничения.

1. Преобразует N в двоичную запись

2. Добавляет два бита в конец:

   • Если N чётное → добавляет "01" (сначала 0, потом 1)

   • Если N нечётное → добавляет "10" (сначала 1, потом 0)

3. Полученная двоичная строка (на 2 бита длиннее исходной) представляет число R

Требование:
Найти наименьшее число R, которое:

1. Строго больше 102 (R > 102)

2. Может быть получено данным алгоритмом
   Ответ представить в десятичной системе.

Особенности преобразования:

1. Для чётных N: R = 2N + 1 (добавление "01" эквивалентно 2N + 1)

2. Для нечётных N: R = 2N + 2 (добавление "10" эквивалентно 2N + 2)

Примечание:
Требуется найти минимальное R, удовлетворяющее условию R > 102.

1. Число N переводится в двоичный формат

2. Удаляется последний бит двоичной записи

3. К полученному числу дописывается:

   • "10", если исходное N было нечётным

   • "01", если исходное N было чётным

4. Итоговая двоичная запись преобразуется в десятичное число R

Пример работы:
Для N = 13 (1101 в двоичной системе):

1. После удаления последнего бита: 110

2. Так как 13 нечётное, дописываем "10": 11010

3. Переводим 11010 в десятичную систему: 26

Задание:
Определите, какое исходное число N нужно подать на вход автомата, чтобы на выходе получить число R = 2018. Ответ представьте в десятичной системе счисления.

Примечание:
Необходимо найти обратное преобразование от известного результата (2018) к исходному числу N.

1. Число N представляется как 8-битное двоичное число (дополняется нулями слева при необходимости)

2. Каждый бит инвертируется (0→1, 1→0)

3. Полученное двоичное число переводится в десятичную систему

4. Из нового числа вычитается исходное N, результат выводится на экран

Пример работы:
Для N = 13:

1. Восьмибитное представление: 00001101

2. После инверсии: 11110010

3. Десятичное значение: 242

4. Результат: 242 - 13 = 229

Задание:
Определите, какое число N нужно подать на вход автомата, чтобы на выходе получить результат 133.

Примечание:
Необходимо найти такое N (0 ≤ N ≤ 255), для которого разность между его восьмибитным инверсированным значением и самим числом равна 133. Ответ должен быть представлен в десятичной системе счисления.

1. Переводит число N в двоичную систему

2. Удаляет первую слева единицу и все следующие сразу за ней нули

   • Если после удаления не остаётся цифр → результат считается равным 0

3. Преобразует оставшиеся цифры в десятичное число

4. Вычисляет разность: исходное N минус полученное число

5. Выводит результат на экран

Пример работы:
Для N = 11 (1011 в двоичной системе):

1. Удаляем первую 1 и следующий 0 → остаётся "11"

2. "11" в десятичной системе = 3

3. Результат: 11 - 3 = 8

Задание:
Определить, сколько различных значений будет выведено на экран при последовательной обработке всех натуральных чисел от 10 до 1000 включительно.

Примечание:
Необходимо:

1. Рассмотреть каждое число в диапазоне 10-1000

2. Применить к нему указанный алгоритм

3. Учесть все уникальные результаты вычислений

4. Определить общее количество различных полученных значений

1. Преобразует N в двоичную запись

2. Дважды дописывает контрольные биты:

   • Первый бит: остаток от деления суммы битов N на 2

   • Второй бит: остаток от деления суммы битов нового числа (N + первый бит) на 2

3. Полученная двоичная запись (на 2 бита длиннее исходной) представляет число R

Требование:
Найти наименьшее число R, которое:

1. Строго больше 123 (R > 123)

2. Может быть получено данным алгоритмом
   Ответ представить в десятичной системе.

Особенности:

1. Алгоритм добавляет два бита чётности (каждый - остаток от деления суммы битов на 2)

2. Итоговое число R всегда будет чётным (так как заканчивается на 0)

3. Для нахождения минимального R > 123 необходимо:

   • Рассмотреть числа N, начиная с минимальных

   • Для каждого вычислять R по алгоритму

   • Найти первое R, удовлетворяющее условию R > 123

Примечание:
Решение требует последовательного перебора чисел N и вычисления соответствующих значений R до нахождения минимального подходящего результата.

1. Преобразует число N в двоичную систему счисления

2. Обращает полученную двоичную запись (читает справа налево)

   • Удаляет ведущие нули, если они появляются после переворота

3. Переводит "перевёрнутую" двоичную запись обратно в десятичное число R

4. Выводит результат R на экран

Пример работы:
Для N = 58:

1. Двоичная запись: 111010

2. Перевёрнутая запись: 010111 → после удаления ведущего нуля: 10111

3. Десятичное значение: 23

Задание:
Найти наибольшее число N (N ≤ 100), которое после обработки автоматом даёт результат R = 13.

Примечание:

1. Необходимо найти максимальное N ≤ 100, для которого:

   • N → binary → reversed binary → decimal = 13

2. Число 13 в двоичной системе: 1101

3. Следовательно, нужно найти N, чья перевёрнутая двоичная запись равна 1101

4. Это означает, что исходная двоичная запись N должна быть 1011 (перевёрнутый 1101)

5. 1011 в десятичной системе = 11, но нужно найти наибольшее возможное N ≤ 100, дающее такой результат

Решение требует:

• Нахождения всех чисел ≤100, чьи перевёрнутые двоичные записи соответствуют 1101 (13 в десятичной системе)

• Выбора из них наибольшего значения

1. Преобразует число N в двоичную запись (без ведущих нулей)

2. Анализирует количество единиц и нулей:

   • Если единиц больше → добавляет справа 1

   • Если нулей больше или поровну → добавляет справа 0

3. Преобразует полученную двоичную запись в десятичное число R

4. Выводит результат R

Пример работы:
Для N = 13:

1. Двоичная запись: 1101 (3 единицы, 1 ноль)

2. Добавляется 1 (так как единиц больше): 11011

3. Результат: 27 (в десятичной системе)

Задание:
Найти наименьшее число R > 80, которое может быть получено в результате работы данного автомата.

Примечания:

1. Требуется найти минимальное R > 80 среди всех возможных результатов работы автомата

2. Для этого необходимо:

   • Рассматривать числа N, начиная с минимальных

   • Для каждого вычислять R по алгоритму

   • Найти первое R, удовлетворяющее условию R > 80

3. Алгоритм добавления бита зависит от соотношения единиц и нулей в исходной записи N

Особенности:

• Результат R всегда будет больше исходного N (так как добавляется минимум один бит)

• Для нахождения минимального R > 80 нужно найти наименьшее N, для которого R превышает 80

1. Преобразует N в двоичную запись

2. Дважды добавляет контрольные биты:

   • Первый бит: остаток от суммы битов N при делении на 2

   • Второй бит: остаток от суммы битов нового числа (N + первый бит) при делении на 2

3. Полученная двоичная запись (длиной на 2 бита больше исходной) представляет число R

Требование:
Найти минимальное число N, для которого результат R после обработки алгоритмом будет строго больше 85. Ответ представить в десятичной системе.

Особенности решения:

1. Для каждого N (начиная с 1) необходимо:

   • Построить двоичную запись

   • Добавить два контрольных бита чётности

   • Вычислить десятичное значение R

   • Проверить условие R > 85

2. Первое N, удовлетворяющее условию, будет ответом

Примечание:
Контрольные биты обеспечивают следующее:

• Первый бит: чётность суммы битов исходного числа

• Второй бит: чётность суммы битов после добавления первого контрольного бита

• Итоговое R всегда будет чётным числом

1. Получите двоичную запись числа N.

2. Измените её следующим образом:

   • если N — чётное, прибавьте к началу записи 1, а к концу — 0;

   • если N — нечётное, прибавьте к началу 11, а к концу — 11.

3. Полученное число трактуется как двоичное представление нового числа R.

Пример:
если N=4, то его двоичная запись — 100. Поскольку число чётное, добавляем слева 1 и справа 0, получаем 11000 — это число R в двоичной системе. В десятичной — это 24.

Вопрос:
Какое наименьшее натуральное число N при обработке по описанному алгоритму даёт результат R, строго превышающий 52?
Ответ запишите в десятичной системе счисления.

1. Сначала определяется двоичное представление числа N.

2. Затем к этой записи добавляются два дополнительных разряда справа:

   • Первый разряд: если количество единиц в двоичной записи числа N — чётное, добавляется 1; если нечётное — добавляется 0.

   • Второй разряд: если остаток от деления количества единиц в двоичной записи на 2 равен 0, добавляется 1; если остаток равен 1 — добавляется 0.

В результате формируется новая двоичная последовательность, которая рассматривается как двоичное представление числа R.

Вопрос:
Определите наименьшее возможное значение числа R, полученного по описанному алгоритму, которое больше 54. В ответе укажите это число в десятичной системе счисления.

1. Находит двоичную запись числа N.

2. Считает сумму всех цифр (разрядов) в этой записи и дописывает к ней справа один бит: остаток от деления этой суммы на 2.

3. Затем вновь считает сумму всех цифр в полученной записи (включая добавленный бит) и снова дописывает к ней справа остаток от деления суммы на 2.

Итоговая двоичная последовательность, полученная после двух добавлений битов справа, является представлением числа R.

Пример:
Если N = 28, его двоичная запись — 11100
Сумма цифр: 1+1+1+0+0 = 3 → 3 mod 2 = 1 → дописываем справа: 111001
Сумма новых цифр: 1+1+1+0+0+1 = 4 → 4 mod 2 = 0 → дописываем: 1110010
Искомое число R = 1110010₂ = 114

Задание:

Найдите наименьшее число R, полученное описанным способом, которое строго больше 97. Ответ укажите в десятичной системе счисления.

1. Определяется двоичная запись числа N.

2. В конец этой записи добавляются два разряда:
   — если число N чётное, добавляются два нуля;
   — если число N нечётное, добавляются две единицы.

3. Полученная последовательность рассматривается как двоичное число. Это и есть результат работы алгоритма.

Задание:
Определите наибольшее возможное значение числа N, при котором результат алгоритма будет меньше 94.
В ответе укажите число N в десятичной системе счисления.

1. Строится двоичная запись числа N.

2. В конец этой записи добавляются два разряда по следующему правилу:
   — если N — чётное число, к записи добавляется «10»;
   — если N — нечётное число, к записи добавляется «01».

Полученная двоичная последовательность рассматривается как двоичное представление нового числа R.

Задание:
Определите наибольшее возможное значение R, которое меньше 109, и может быть результатом работы этого алгоритма.
В ответе укажите R в десятичной системе счисления.

1. Строится двоичная запись числа N.

2. Вычисляется сумма всех цифр (битов) в этой записи. В конец записи добавляется один разряд — остаток от деления этой суммы на 2.

3. Затем операция повторяется: считается сумма всех цифр в полученной новой записи, и к ней снова добавляется справа остаток от деления этой суммы на 2.

4. Полученная двоичная строка интерпретируется как число в двоичной системе и преобразуется в десятичную систему счисления. Результат выводится на экран.

Пример:
Если N = 13, двоичная запись — 1101.
Сумма цифр = 3 → 3 mod 2 = 1 → новая запись: 11011.
Сумма = 4 → 4 mod 2 = 0 → новая запись: 110110.
В десятичной системе это число равно 54.

Задание:
Какое наибольшее число, меньшее 100, может быть выведено на экран в результате работы этого алгоритма?
В ответе укажите это число в десятичной системе счисления.

1. Строится троичная (в системе счисления с основанием 3) запись числа N.

2. В конец этой записи добавляется цифра — остаток от деления числа N на 3.

3. Полученная запись трактуется как число в троичной системе и переводится в десятичную.

4. Полученное десятичное число выводится на экран.

Пример:
N = 11
Троичная запись: 102
Остаток от деления 11 на 3 — это 2
Получаем новую троичную запись: 1022
1022₃ = 1×27 + 0×9 + 2×3 + 2 = 27 + 0 + 6 + 2 = 35

Вопрос:

Какое наименьшее трёхзначное число может быть выведено на экран в результате работы этого автомата?