Обыкновенные дроби: что это и как с ними подружиться

Дроби — один из тех разделов математики, без которых не обходится почти ни один урок с пятого класса. На первый взгляд тема кажется сложной, но если разобраться в основах, всё становится логичным и даже интересным.

Что такое обыкновенная дробь

Каждый из нас сталкивается с дробями в повседневной жизни — когда делим пиццу, шоколадку или время между делами. Например, если ты съел половину яблока, можно сказать, что ты съел ½. Чтобы описывать такие части целого, математики придумали дроби.

Источник фото kedu.ru

Обыкновенная дробь — это число, которое показывает, сколько частей взято от целого.

Она записывается так: a/b, где:

• a — числитель (показывает, сколько частей взяли);
• b — знаменатель (показывает, на сколько частей разделили целое).

Например, 3/4 читается как «три четвертых» и означает, что целое разделили на 4 равные части и взяли 3 из них.

Источник фото kedu.ru

Что означает 1/2

Дробь 1/2 обозначает половину целого.

Если поделить что-то на две равные части и взять одну, получится именно эта дробь.

В десятичной форме она равна 0,5, а в процентах — 50%.

Например, если разделить пирог на две одинаковые части, каждая порция будет составлять половину — то есть 1/2 или 0,5 от целого пирога.

Источник фото kedu.ru

Понятие доли

Чтобы понять дроби, начнём с доли — части, на которую делится целое. Если круг разделён на шесть равных частей, каждая из них — одна шестая целого.

Некоторые распространённые доли:

1. Половина — одна вторая часть (1/2);
2. Треть — одна третья (1/3);
3. Четверть — одна четвёртая (1/4).

Понятие доли применимо не только к предметам. Например, если стол занимает четверть комнаты, значит, его площадь — 1/4 от всей комнаты.

Источник фото kedu.ru

Виды обыкновенных дробей

• Правильная дробь — числитель меньше знаменателя (например, 2/3, 3/5). Она всегда меньше единицы.
• Неправильная дробь — числитель больше или равен знаменателю (5/3, 7/4). Такая дробь больше единицы.
• Смешанное число — это целое число и дробь вместе: 1 ½ = 1 + ½.

Как связаны обыкновенные и десятичные дроби

Десятичная дробь — это просто другой способ записать обыкновенную. Чтобы перевести дробь в десятичную форму, нужно разделить числитель на знаменатель:
1/4 = 0,25.
В десятичных дробях знаменатель всегда равен 10, 100, 1000 и т.д.
Они записываются через запятую: 0,3, 4,23, 9,939. Бывают конечные (с ограниченным количеством цифр) и бесконечные (повторяющиеся).

Основные свойства дробей

• Дробь не существует, если знаменатель равен нулю.
• Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель — нет.
• Две дроби равны, если выполняется равенство: a × d = b × c.

Источник фото kedu.ru

Главное свойство дроби: если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, значение дроби не изменится.

Как сравнивать дроби

Если знаменатели одинаковые — больше та дробь, у которой числитель больше: 3/8 > 1/8

Источник фото kedu.ru

Если числители одинаковые — больше та, у которой знаменатель меньше: 1/2 > 1/8 (половина пиццы больше, чем один кусочек из восьми).

Источник фото kedu.ru

Если знаменатели разные — дроби нужно привести к общему знаменателю и сравнить числители.

Пример 1: Сравним дроби 2/3 и 3/4

Решение:

• Приведем к общему знаменателю 12. У нас получается 8/12 и 9/12.
• Сравним числители: 8/12 < 9/12

Ответ: 2/3 < 3/4 

Источник фото kedu.ru

Пример 2: Сравним дроби 5/12 и 3/8

Решение:

1. Приводим дроби к общему знаменателю 24. У нас получается 10/24 и 9/24.
2. Сравним числители 10/24 > 9/24

Ответ: 5/12 > 3/8

Сокращение дробей

Сократить дробь — значит разделить числитель и знаменатель на одно и то же число — наибольший общий делитель (НОД). После сокращения дробь обозначает то же самое число, но выглядит понятнее.
Пример 1: сократим дробь 48/60

Решение:

1. Найдём НОД — 12
2. Разделим числитель и знаменатель на НОД. Выполняем 48/12 = 4, 60/12 = 5

Ответ: 48/60 = 4/5

Пример 2: сократим дробь 45/60

Решение:

1. Найдём НОД — 5
2. Разделим числитель и знаменатель на НОД. Выполняем 45/5 = 9, 60/5 = 12

Ответ: 45/60 = 9/12

Преобразование дробей

Из неправильной в смешанную

Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю, например: 17/5
Чтобы перевести её в смешанную, нужно выполнить три шага:

1. Разделить числитель на знаменатель.
2. Целая часть — это результат деления.
3. Остаток записать в числителе дробной части, знаменатель оставить прежним.

Пример 1: переведем неправильную дробь 29/6 в смешанную.

Решение:

1. Делим числитель на знаменатель. Получается 29 ÷ 6 = 4(потому что 4 × 6 = 24)
2. Выделяем целую часть — 4
3. Выделяем остаток. 29 - 24 = 5

Ответ: 29/6 = 4 ⅚ 

Пример 2: переведем неправильную дробь 17/4 в смешанную.

Решение: 

1. Делим числитель на знаменатель. Получается 17 ÷ 4 = 4(потому что 4 × 4 = 16)
2. Выделяем целую часть — 4
3. Выделяем остаток. 17 - 16 = 1

Ответ: 17/4 = 4 ¼ 

Из смешанной в неправильную
Смешанная дробь состоит из целой части и дроби, например: 2 ⅗ ​
Чтобы перевести её в неправильную, нужно выполнить три шага:

1. Умножить целую часть на знаменатель.
2. Прибавить числитель.
3. Оставить знаменатель тем же.
   

Пример 1: преобразуем 3 ⅖ в неправильную дробь.

Решение:

1. Умножаем целую часть 3 на знаменатель 5. Получается 3 х 5 = 15
2. Прибавляем числитель 2. Получается 15 + 2 = 17
3. Оставляем знаменатель. Получается 17/5

Ответ: 3 ⅖ = 17/5

Пример 2: преобразуем 3 2/9 в неправильную дробь.

Решение:

1. Умножаем целую часть 3 на знаменатель 9. Получается 3 х 9 = 27
2. Прибавляем числитель 2. Получается 27 + 2 = 29
3. Оставляем знаменатель. Получается 29/9

Ответ:3 2/9 = 29/9

Действия с дробями

Сложение и вычитание

Если знаменатели одинаковые — складываем или вычитаем числители.
Пример 1: сложим дроби 3/7 + 2/7

Решение: так как знаменатели одинаковые, мы складываем только числители 3 + 2 = 5

Ответ: 3/7 + 2/7 = 5/7

Источник фото kedu.ru

Пример 2: сложим дроби 5/11 + 2/7

Решение: так как знаменатели одинаковые, мы складываем только числители 5 + 2 = 7

Ответ: 5/11 + 2/11 = 7/11

Если знаменатели разные:

1. Находим общий знаменатель (обычно — наименьшее общее кратное).
2. Преобразуем дроби, чтобы знаменатели совпали.
3. Складываем или вычитаем числители.

Пример 1: Сложим дроби 2/3 + 1/4

Решение:

1. Приведем дроби к общему знаменателю 12: 8/12 + 3/12
2. Складываем числители.

Ответ: 2/3 + 1/4 = 11/12

Источник фото kedu.ru

Пример 2: Сложим дроби 3/10 + 4/15

Решение:

1. Приведем дроби к общему знаменателю 30. Получается 3/10 =  9/30, 4/15 = 8/30
2. Складываем числители. 9/30 = 8/30 = 17/30

Ответ: 3/10 + 4/15 = 17/30

Умножение

Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить числители и знаменатели.

Пример 1: выполним решение 3/5 х 7/8 

Решение:

1. умножаем числители: 3 х 7 = 21
2. умножаем знаменатели: 5 х 8 = 40

Ответ: 3/5 х 7/8 = 21/40

Источник фото kedu.ru

Пример 2: выполним решение 2/3 х 3/4 

Решение:

1. умножаем числители: 2 х 3= 6
2. умножаем знаменатели: 3 х 4= 12
3. сократим дробь: 6/12 = 1/2 

Ответ: 2/3 х 3/4 = 1/2

Если умножаем смешанные числа, сначала переводим их в неправильные дроби, затем выполняем умножение, а потом, если нужно, снова записываем результат в смешанном виде.

Пример 1: выполним умножение смешанных дробей 2 ⅓ х 1 ½
 
Решение:

1. переведем смешанные дроби в неправильные. Получается 7/3 х 3/2 
2. умножаем дроби. Получается 21/6
3. сокращаем дробь. Получается 7/2
4. переводим в неправильную дробь. Получается 3 ½

Ответ: 2 1/3 х 1 1/2 = 3 ½

Источник фото kedu.ru

Пример 2: выполним умножение смешанных дробей 1 ¾ х 2 ⅔
 
Решение:

1. переведем смешанные дроби в неправильные. Получается 7/4 х 8/3
2. умножаем дроби. Получается 56/12
3. сокращаем дробь. Получается 14/3
4. переводим в неправильную дробь. Получается 4 ⅔ 

Ответ: 1 ¾ х 2 ⅔ = 4 ⅔

Деление

Чтобы разделить одну дробь на другую, первую умножают на обратную ко второй.

Пример 1: выполним уравнение 3/4 ÷ 2/5

Решение:

1. Нам нужно первую дробь 3/4 умножить на обратную ко второй 5/2.
   Выполняем 3/4 х 5/2 = 15/8
2. Переводим в неправильную дробь. 15/8 = 1 ⅞

Ответ: 3/4 ÷ 2/5 = 1 ⅞

Источник фото kedu.ru

Пример 2: выполним уравнение 9/10 ÷ 3/7

Решение:

1. Выполняем умножение 9/10 х 7/3 = 63/30
2. Сокращаем и переводим в смешанную дробь. 63/30 = 21/10 = 2 1/10. 

Ответ: 9/10 ÷ 3/7 = 2 1/10.

Если делим смешанные числа, сначала переводим их в неправильные дроби, выполняем деление, а потом, если нужно, снова записываем в смешанном виде.

Пример 1: выполним уравнение 2 ¼ ÷ 1 ½

Решение: 

1. Переводим в неправильные дроби. 2 ¼ = 9/4, 1 ½ = 3/2
2. Выполняем деление, то есть умножаем первую дробьна обратную ко второй. Получается 9/4 х 2/3 = 18/12 
3. Сокращаем дробь и переводим в смешанный вид. 18/12 = 3/2 = 1 ½ 

Ответ: 2 ¼ ÷ 1 1/2 = 3/2 или 1 ½

Источник фото kedu.ru

Пример 2: выполним уравнение 3 ⅖ ÷ 2 ⅓

Решение: 

1. Переводим в неправильные дроби. 3 ⅖ = 17/5, 2 ⅓ = 7/3
2. Выполняем деление. Получается 17/5 х 3/7 = 51/35
3. Переводим в смешанный вид. 51/35 = 1 16/35

Ответ: 3 ⅖ ÷ 2 ⅓ = 1 16/35

Дроби в жизни

Дроби встречаются не только в учебниках:

• В кулинарии — ½ стакана муки или ¾ ложки соли.
• В спорте — если пробежал ¾ дистанции.
• В финансах — когда делим деньги поровну.

Итог

Обыкновенные дроби — это удобный способ обозначить часть целого.
Они связаны с десятичными дробями и подчиняются тем же арифметическим правилам: их можно складывать, вычитать, умножать, делить и сокращать.
Понимая, как устроены дроби, можно уверенно решать задачи и применять знания в повседневной жизни — от рецептов до финансов.