Вопрос 1
Ответ: А
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 103°, угол CAD равен 42°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Правильный ответ
А) 61
Вопрос 2
Ответ: А
Площадь параллелограмма ABCD равна 24. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции BCDE.
Правильный ответ
А) 18
Вопрос 3
Ответ: А
В треугольнике ABC стороны AC и ВC равны, угол C равен 134° , угол CBD — внешний. Найдите угол CBD . Ответ дайте в градусах.
Правильный ответ
А) 157
Вопрос 4
Ответ: А
Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
Правильный ответ
А) 5
Вопрос 5
Ответ: А
На координатной плоскости изображены векторы
Правильный ответ
А) 12
Вопрос 6
Ответ: А
Даны векторы
Правильный ответ
А) 29
Вопрос 7
Ответ: А
Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.
Правильный ответ
А) 1,125
Вопрос 8
Ответ: А
Стороны основания правильной четырёхугольной пирамиды равны 10, боковые рёбра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
Правильный ответ
А) 340
Вопрос 9
Ответ: А
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/3 высоты. Объём жидкости равен 4 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?
Правильный ответ
А) 104
Вопрос 10
Ответ: А
В группе туристов 20 человек. С помощью жребия они выбирают семь человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?
Правильный ответ
А) 0,35
Вопрос 11
Ответ: А
Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56.
Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19 включительно.
Правильный ответ
А) 0,38
Вопрос 12
Ответ: А
Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,2. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит?
Правильный ответ
А) 0,992
Вопрос 13
Ответ: А
В коробке 5 синих, 9 красных и 11 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.
Правильный ответ
А) 0,15
Вопрос 14
Ответ: А
Найдите корень уравнения 4^x-7=1/64
Правильный ответ
А) 4
Вопрос 15
Ответ: А
Найдите корень уравнения √(3x+49)=10
Правильный ответ
А) 17
Вопрос 16
Ответ: А
Найдите корень уравнения log8(5x+47)=3
Правильный ответ
А) 93
Вопрос 17
Ответ: А
Решите уравнение √(2x+3)=x. Если корней окажется несколько, то в ответе запишите наименьший из них.
Правильный ответ
А) 3
Вопрос 18
Ответ: А
Найдите значение выражения 3cos2α, если sin α=0,2
Правильный ответ
А) 2,76
Вопрос 19
Ответ: А
Найдите значение выражения
Правильный ответ
А) 2
Вопрос 20
Ответ: А
Найдите значение выражения
Правильный ответ
А) 125
Вопрос 21
Ответ: А
На рисунке изображён график y= f'(x) производной функции f(x). На оси абсцисс отмечено десять точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции f(x)?
Правильный ответ
А) 6
Вопрос 22
Ответ: А
На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0 .
Правильный ответ
А) –1,4
Вопрос 23
Ответ: А
Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой f0=295 Гц.
Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе такой же тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза v (в м/с) и изменяется по закону f(v)=f0/(1-v/c) (Гц), где c — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 5 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а c = 300 м/с. Ответ дайте в м/с.
Правильный ответ
А) 5
Вопрос 24
Ответ: А
Моторная лодка прошла против течения реки 143 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Правильный ответ
А) 12
Вопрос 25
Ответ: А
Смешав 45%-й и 97%-й растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62%-й раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50%-го раствора той же кислоты, то получили бы 72%-й раствор кислоты.
Сколько килограммов 45%-го раствора использовали для получения смеси?
Правильный ответ
А) 15
Вопрос 26
Ответ: А
Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 104 литра она заполняет на 5 минут дольше, чем вторая труба?
Правильный ответ
А) 8
Вопрос 27
Ответ: А
На рисунке изображены графики функций видов f(x)=ax^2+bx+c и g(x)=kx, пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
Правильный ответ
А) 7
Вопрос 28
Ответ: А
Найдите наименьшее значение функции y=9x-9ln(x+11)+7 на отрезке [−10,5; 0]
Правильный ответ
А) –83
Вопрос 29
Ответ: А
Найдите точку максимума функции y=(x+8)^2⋅e^(3-x)
Правильный ответ
А) –6
Вопрос 30
Ответ: А
Найдите точку минимума функции y=-x/(x^2+256)
Правильный ответ
А) 16
Вопрос 31
Ответ: А, Б
а) Решите уравнение 2sin^3x=√2cos^2x+2sinx
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-4π; -5π/2]
Правильный ответ
А) а) π/2+πk, k∈Z; -π/4+2πn, n∈Z; -3π/4+2πm, m∈Z
Правильный ответ
Б) б) -7π/2; -11π/4; -5π/2.
Вопрос 32
Ответ: А, Б
В правильном тетраэдре ABCD точки M и N — середины рёбер AB и CD соответственно. Плоскость α перпендикулярна прямой MN и пересекает ребро BC в точке K.
а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна рёбрам AB и CD.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью α, если известно, что BK =1, KC = 3.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью α, если известно, что BK =1, KC = 3.
Правильный ответ
А) а) В треугольнике ANB имеем: AN=BN=√3/2*CD. Следовательно, он равнобедренный с основанием AB, а его медиана NM перпендикулярна ребру AB. Аналогично прямая MN перпендикулярна ребру CD.
Правильный ответ
Б) б) 3
Вопрос 33
Ответ: А
Решите неравенство
Правильный ответ
А) (-1; -√2/2); (-√2/2; 0); (0; 1/2]
Вопрос 34
Ответ: А
В июле 2026 года планируется взять кредит на десять лет в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на r % по сравнению с концом предыдущего года (r — целое число);
– с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
– в июле 2027, 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– в июле 2031 года долг должен составить 200 тыс. рублей;
– в июле 2032, 2033, 2034, 2035 и 2036 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– к июлю 2036 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1480 тыс. рублей. Найдите r.
– с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
– в июле 2027, 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– в июле 2031 года долг должен составить 200 тыс. рублей;
– в июле 2032, 2033, 2034, 2035 и 2036 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– к июлю 2036 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1480 тыс. рублей. Найдите r.
Правильный ответ
А) 20
Вопрос 35
Ответ: А, Б
Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Известно, что AB=CD=3, BC=DE=4.
а) Докажите, что AC=CE .
б) Найдите длину диагонали BE, если AD = 6
б) Найдите длину диагонали BE, если AD = 6
Правильный ответ
А) а) четырёхугольники ABCD и BCDE являются равнобедренными трапециями. Следовательно, AC BD CE = = .
Правильный ответ
Б) б) ME=DE/AB⋅AM=DE/AB⋅(AD-DM)=8/3; BE=BM+ME=17/3
Вопрос 36
Ответ: А
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
Правильный ответ
А) a = −13; −9≤a<3.
Вопрос 37
Ответ: А
Из пары натуральных чисел (a;b), где a>b, за один ход получают пару (a+b;a−b).
а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (100;1) пару, большее число в которой равно 400?
б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (100;1) пару (806; 788)?
в) Какое наименьшее a может быть в паре (a;b), из которой за несколько ходов можно получить пару (806; 788)?
б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары (100;1) пару (806; 788)?
в) Какое наименьшее a может быть в паре (a;b), из которой за несколько ходов можно получить пару (806; 788)?
Правильный ответ
А) а) да; б) нет; в) 403
